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第四十九章 杨辉三角（第1页）

杨辉三角形，一目了然，每个数等于它上方两数之和。

研究过《九章》、《缉古》、《缀术》、《海岛》这些算法的楚衍说：“我发现了一个奇特三角，每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。”

1050年写过《释锁算术》的贾宪说：“这个三角第n行的数字有n项。”

1261年，写过《详解九章算法》的杨辉说：“这个三角形前n行共[(1+n)n]/2 个数。”

1303年朱世杰说：“第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。”

1427年，写过《算术的钥匙》的阿拉伯人阿尔·卡西说：“第n行的第m个数和第n-m+1个数相等，为组合数性质之一。”

1527年德国人阿皮亚纳斯说：“每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即 C(n+1，i)=C(n，i)+C(n，i-1)。”

1544年，写过《综合算术》的德国人米歇尔.斯蒂费尔说：“这是二项式展开式系数，其中(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应三角的第(n+1)行中的每一项。”

斐波那契说：“将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。”

1545年法国的薛贝尔说：“将第n行的数字分别乘以10^（m-1），其中m为该数所在的列，再将各项相加的和为11^（n-1）。11^0=1，11^1=1x10^0+1×10^1=11，11^2=1×10^0+2x10^1+1x10^2=121，11^3=1x10^0+3×10^1+3x10^2+1x10^3=1331，11^4=1x10^0+4x10^1+6x10^2+4x10^3+1x10^4=，11^5=1x10^0+5x10^1+10x10^2+10x10^3+5x10^4+1×10^5=。”

1654年，写过《论算术三角形》的帕斯卡说：“第n行数字的和为2^（n-1）。1=2^（1-1），1+1=2^（2-1），1+2+1=2^（3-1），1+3+3+1=2^（4-1），1+4+6+4+1=2^（5-1），1+5+10+10+5+1=2^（6-1）。”

这个被欧洲人称之为帕斯卡三角形。

1708年的Pierre Raymond de Montmort说：“斜线上数字的和等于其向左（从左上方到右下方的斜线）或向右拐弯（从右上方到左下方的斜线），拐角上的数字。1+1=2，1+1+1=3，1+1+1+1=4，1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，1+3=4，1+3+6=10，1+4=5。”